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テイラー展開実例メモ

初心者用 テイラー展開解説について、更に超初心者である私が、読みながら書き連ねたメモを…。

もともとは、(1.0007)^{15}を求めたい、という問題。

これを、f(x) = x^{15}としたとき、f(1.0007)の値を求めるという問題であると捉える。

ここで、1.0007は1にとても近いので、a=1とすると、(x-a)は微小であるといえる。したがって、aの周りでテイラー展開をする。

ここで、テイラー展開によって、f(x)f(a) + f'(a)(x-a)の式に一次近似をする。

f(a) = f(1) = 1^{15} = 1であり、f'(a)(x-a) = f'(1)(1.0007 - 1) = 15(0.0007)。したがって、f(1.0007) \sim 1 + 15 \times 0.0007となり、「1.0007の15乗は、だいたい 1 + 15かける0.0007だから、1.0105くらい」という冒頭の一次近似の話につながる。


aの周り」でいうところのaというのは、実際に求めたい変数の値に近い値。また、「aの周り」というキーワードによって、近似式は(x-a)のべき乗の項を含む形とすることが表される。

また、特に、a=0の場合をマクローリン展開という。

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