テイラー展開実例メモ


初心者用 テイラー展開解説について、更に超初心者である私が、読みながら書き連ねたメモを…。

もともとは、[latex](1.0007)^{15}[/latex]を求めたい、という問題。

これを、[latex]f(x) = x^{15}[/latex]としたとき、[latex]f(1.0007)[/latex]の値を求めるという問題であると捉える。

ここで、1.0007は1にとても近いので、[latex]a=1[/latex]とすると、[latex](x-a)[/latex]は微小であるといえる。したがって、[latex]a[/latex]の周りでテイラー展開をする。

ここで、テイラー展開によって、[latex]f(x)[/latex]を[latex]f(a) + f'(a)(x-a)[/latex]の式に一次近似をする。

[latex]f(a) = f(1) = 1^{15} = 1[/latex]であり、[latex]f'(a)(x-a) = f'(1)(1.0007 – 1) = 15(0.0007)[/latex]。したがって、[latex]f(1.0007) \sim 1 + 15 \times 0.0007[/latex]となり、「1.0007の15乗は、だいたい 1 + 15かける0.0007だから、1.0105くらい」という冒頭の一次近似の話につながる。


「[latex]a[/latex]の周り」でいうところの[latex]a[/latex]というのは、実際に求めたい変数の値に近い値。また、「[latex]a[/latex]の周り」というキーワードによって、近似式は[latex](x-a)[/latex]のべき乗の項を含む形とすることが表される。

また、特に、[latex]a=0[/latex]の場合をマクローリン展開という。


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